Sample size calculation in terms of epsilon and delta

오늘은 sample size calculation에서 중요한 \(\epsilon\)(예상되는 임상적 차이)과 \(\delta\)(margin)에 대해서 이야기를 나누어보려고 한다.

다음 수식은 두 평행군의 sample size를 구하는 공식이다. Z 분포를 활용한다.

\(n\)은 sample size를 의미하고, \(\epsilon\)과 \(\delta\)에 따라 \(n\)이 크게 변한다.

\[\huge \begin{aligned} n=\frac{(z_{\alpha}+z_{\beta})^2 \sigma^2 (1 + 1/\kappa)}{(\epsilon - \delta)^2} \end{aligned}\]

여기서 \(\alpha\)는 type 1 error, \(\beta\)는 type 2 error, \(z_{\alpha}\)는 Z 분포에서 면적 \(\alpha\)를 나타내는 지점이다. 즉, \(-\infty\)에서 \(z_{\alpha}\)까지 적분했을 때 \(\alpha\) 값을 얻을 수 있다. 또한, \(\kappa\)는 대조군과 통제군의 비율이고, \(\sigma\)는 표준편차에 해당한다.

그렇다면 \(\epsilon\)과 \(\delta\)는 무엇일까?

\(\epsilon\)은 임상적으로 예상되는 차잇값에 해당한다. 즉, 우리의 제품(혹은 intervention)과 기존의 제품(혹은 intervention)과의 예상되는 차이를 일컫는다. \(\epsilon\)을 정할 때에는 선행연구에 기반해서 두어야 하며, 우월성 임상시험이나 비열등성 임상시험을 계획할 때에 너무 낙관적으로 크게 잡게 되면 sample size가 작아지게 되고, sample size calculation에 대한 신뢰를 잃게 된다.

\(\delta\)는 margin이라고 일컫는다. 우월성 임상시험에서는 두 군의 차잇값의 신뢰구간 하한이 +\(\delta\) 값보다 크면 우월하다고 보고, 비열등성 임상시험에서는 두 군의 차잇값의 신뢰구간 하한이 -\(\delta\) 값보다 크면 비열등하다고 본다.

통계적 우월성만을 보는 경우에는 \(\delta\)를 0으로 두기도 한다.

하지만 우월성 임상시험 환경에서 다이어트 약을 투여한다고 했을 때, 무처치 대조군에 비해 +\(\delta\)(=0)보다 차이가 있다고 하는 것은 의미가 없을 것이다.

3달 동안 5kg의 체중 감량이 있어야 의미가 있다고 한다면, 이 경우에는 +\(\delta\)가 5가 되는 것이다.

가장 중요한 것은 선행연구와 임상적인 의미를 고려하여 정하는 것이다.